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Courbes algébriques planes. Springer

Issu d'un cours de maîtrise de l'Université Paris VII, ce texte est réédité tel qu'il était paru en 1978. A propos du théorème de Bézout sont introduits divers outils nécessaires au développement de la notion de multiplicité d'intersection de deux courbes algébriques dans le plan projectif complexe. Partant des notions élémentaires sur les sous-ensembles algébriques affines et projectifs, on définit les multiplicités d'intersection et interprète leur somme entermes du résultant de deux polynômes. L'étude locale est prétexte à l'introduction des anneaux de série formelles ou convergentes ; elle culmine dans le théorème de Puiseux dont la convergence est ramenée par des éclatements à celle du théorème des fonctions implicites. Diverses figures éclairent le texte: on y "voit" en particulier que l'équation homogène x3+y3+z3 = 0 définit un tore dans le plan projectif complexe.


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Introduction à la géométrie algébrique complexe.

Ce livre est destiné aux étudiants de licence et master de mathématiques, et au-delà. Il étudie successivement la théorie des faisceaux (chap 1), les courbes algébriques ou surfaces de Riemann compactes (chap 2), les fonctions thêta (chap 3), les diviseurs et fibrés en droites sur les variétés complexes (chap 4), les tores complexes et variétés abéliennes (chap 5), les variétés de Prym (chap. 6), l'espace des modules des surfaces de Riemann (chap 7) et, enfin, les formes différentielles, les fonctions et intégrales elliptiques ainsi que la méthode des déformations isospectrales (chap .
De nombreux exemples et exercices avec solutions ponctuent le texte.


Telecharger Les équations algébriques : Aborder les inconnues - Hervé Lehning et collectif

Les équations algébriques : Aborder les inconnues - Hervé Lehning et collectif

Les équations algébriques : Aborder les inconnues - Hervé Lehning et collectif

Hervé Lehning et collectif, "Les équations algébriques : Aborder les inconnues"

À Babylone, en Égypte ou en Grèce, l'homme antique est confronté à des partages de champs ou d'héritages qui le conduisent déjà à résoudre des équations algébriques, parfois sans le savoir. De ces problèmes de la vie quotidienne naîtra l'inconnue. Depuis, les équations se résolvent aussi pour elles-mêmes, sans souci du concret.

Afin de percer leur mystère, le mathématicien affûte ses méthodes. Il doit accepter l'insuffisance de la stricte algèbre, ne dédaigner ni les ressources de la géométrie, ni le recours aux approximations.

Cette quête le mènera aux confins de l'univers des nombres, dans des mondes peuplés d'irrationnels, de transcendants, d'imaginaires. Elle sera l'origine de révolutions mathématiques, telles que la théorie de Galois.


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Algèbre : Tome 1 : groupes, corps et théorie de Galois

Algèbre : Tome 1 : groupes, corps et théorie de Galois

Daniel Guin, Thomas Hausberger, "Algèbre : Tome 1 : groupes, corps et théorie de Galois"
French | 2008 | ISBN: 2868839746 | 457 pages | PDF | 103 MB

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L3-M1) et à ceux qui préparent le Capes ou l'agrégation.

Il traite de la théorie des groupes, de la théorie des corps et d'un de leurs points communs essentiels, la théorie de Galois des extensions finies. Chacune de ces théories est présentée en détails, depuis les définitions de base jusqu'à des résultats très élaborés. On y présente de nombreuses applications comme, par exemple, les problèmes de constructions à la règle et au compas (quadrature du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube, polygones réguliers, ainsi que la résolution par radicaux des équations polynomiales. Les chapitres sont, pour la plupart, suivis de thèmes de réflexion (TR) et de travaux pratiques de «mathématiques assistées par ordinateurs» (TP). Ces TR et TP permettent d'étudier en profondeur des notions qui illustrent ou complètent le cours.

Daniel Guin a été professeur à l'université Montpellier 2 où il a enseigné, en particulier, l'algèbre à tous les niveaux, de Ll au M2. Ce livre correspond aux cours qu'il a donnés pendant plusieurs années en L3. Il est spécialiste de K-théorie algébrique et d'algèbre homologique.

Thomas Hausberger est maître de conférences à l'université Montpellier 2. Spécialiste de théorie des nombres, il enseigne, entre autres, l'algèbre et l'arithmétique de la licence à la préparation à l'agrégation. Il a oeuvré à la mise en place de travaux pratiques sur ordinateur, pour une approche expérimentale des mathématiques basée sur une «instrumentation raisonnée» du système de calcul formel.



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Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann - Ricardo Sa Earp, Eric Toubiana

Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann - Ricardo Sa Earp, Eric Toubiana

Ricardo Sa Earp, Eric Toubiana, "Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann"
2009 | French | ISBN-10: 2842250850 | 364 pages | PDF | 102 MB

Avec ce livre, les auteurs ont voulu présenter une introduction élémentaire à des notions qui servent depuis longtemps de base à des recherches en mathématiques (géométrie différentielle et géométrie algébrique) et en physique théorique. On peut noter que le plan hyperbolique (introduit par Lobatchevski en 1826) d'une part, les surfaces de Riemann (1851) d'autre part, sont les premiers exemples d'objets géométriques qui ne se présentent pas comme des figures de l'espace usuel, mais au contraire se substituent à lui, devenant ainsi le lieu d'une nouvelle géométrie. Le lien entre ces deux notions fut découvert par Poincaré en 1881. Les objets d'étude proposés dans ce livre sont d'abord les géodésiques et les horocycles du plan hyperbolique, ses isométries, puis les courbes du plan hyperbolique et leur courbure. Un chapitre est ensuite consacré aux espaces hyperbolique de dimension 3 et plus. Dans la partie sur les surfaces de Riemann, les auteurs proposent notamment l'étude des revêtements ramifiés, puis celle de la classification des surfaces par le genre et par la nature du revêtement universel (c'est là que se fait le lien avec le plan hyperbolique) ; la classification plus fine des structures conformes est abordée dans le cas du tore, ce qui donne l'occasion de présenter la théorie des fonctions elliptiques, et de l'anneau, où on déduit de la classification le grand théorème de Picard. Plusieurs applications à la théorie des surfaces minimales de l'espace euclidien sont données en complément. Cette introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann est la première qui mette ces deux sujets à la portée d'étudiants de M1 (quatrième année) de mathématiques, sans exiger d'eux plus qu'une connaissance de la géométrie euclidienne et une familiarité minimale avec les fonctions analytiques. L'ouvrage comporte 117 exercices, avec des indications.


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Arithmétique modulaire et cryptologie - Pierre Meunier

Arithmétique modulaire et cryptologie - Pierre Meunier

Pierre Meunier, "Arithmétique modulaire et cryptologie"
French | ISBN: 2854289544 | 2011 | 190 pages | PDF | 4 MB

La cryptologie, science des écritures secrètes, peut schématiquement être configurée de manière duale à l aide du couple : cryptographie cryptanalyse :
- la cryptographie ayant pour objet la création de procédés techniques de codage les plus sûrs possibles,
- la cryptanalyse, au contraire, cherchant à élaborer des protocoles mathématiques permettant de casser les cryptosystèmes.
La plupart de ces objectifs sont atteints grâce à la subtilité et l élégance de l arithmétique modulaire. Cet ouvrage est issu d un enseignement en mathématiques Spéciales MP* résultant à la fois d un approfondissement en algèbre destiné aux candidats des ENS et d une adaptation des mathématiques disponibles en Spé MP* aux techniques de codage et de décodage numériques.
Introduction
L arithmétique modulaire est, avant tout, la discipline mathématique dont l objet est l étude des anneaux ou des corps - le plus souvent finis -- obtenus par "réduction" à partir d un idéal I d un anneau commutatif A; l idéal I définit alors ce qu on appelle le modulo (ou parfois le modulus) à l aune duquel sont "regardés" les éléments de l an¬neau A; l ensemble ainsi "réduit", toujours noté A/I, porte le nom d ensemble quotient (algébrique) de l anneau A par son idéal I.
En pratique, ou bien A = E et I est du type nZ, ou bien A = [X], étant un corps (le plus souvent fini) et éventuellement, mais plus rarement, A = A'[X] où A' est un anneau fini, l idéal I étant toujours du type (P), c est-à-dire l idéal de A engendré par le polynôme P. A partir d un ensemble produit de l arithmétique modulaire usuelle, anneau E/(n) ou corps fini, on peut créer des sous-ensembles algébriquement très faciles à identifier, organisés en groupes cycliques, qui, à ce titre, relèvent également du concept modulaire (courbes elliptiques, surfaces de Frobénius, groupe des inversibles de Z/(n) lorsque n = pl, p premier...).
L intérêt de l arithmétique modulaire, telle qu elle vient d être exposée dans cette introduction, réside essentiellement dans le fait qu elle dispose et crée des ensembles finis, algébriquement très riches, pourvus de modes opératoires n ayant aucun ordre prévisible et, de ce fait, susceptibles de favoriser la création de mécanismes mathématiques de secret si nécessaires en cryptologie.
C est la raison pour laquelle sont réunies dans le même ouvrage l arithmétique mo¬dulaire et la cryptologie, étant entendu que cette discipline mathématique est abordée de façon élémentaire afin qu un taupin ou candidat aux concours (CAPES, Agrégation) puisse "y trouver son compte".
Table des matières :
Introduction
Chapitre 1 Notions préliminaires
Chapitre 2 Groupes, anneaux, corps
Chapitre 3 Arithmétique modulaire dans Z
Chapitre 4 Arithmétique modulaire dans K[X] où K est un corpsfini
Chapitre 5 Résidus quadratiques - Loi de réciprocité
Chapitre 6 Les nombres premiers
Chapitre 7 Arithmétique modulaire et cryptologie
Chapitre 8 Protocoles de signature et d identification numériques
Annexe A Cryptographie et surface de Frobénius
Postface


Telecharger [Multi] Arithmétique modulaire et cryptologie - Pierre Meunier

[Multi] Arithmétique modulaire et cryptologie - Pierre Meunier

[Multi] Arithmétique modulaire et cryptologie - Pierre Meunier

Pierre Meunier, "Arithmétique modulaire et cryptologie"
French | ISBN: 2854289544 | 2011 | 190 pages | PDF | 4 MB

La cryptologie, science des écritures secrètes, peut schématiquement être configurée de manière duale à l aide du couple : cryptographie cryptanalyse :
- la cryptographie ayant pour objet la création de procédés techniques de codage les plus sûrs possibles,
- la cryptanalyse, au contraire, cherchant à élaborer des protocoles mathématiques permettant de casser les cryptosystèmes.
La plupart de ces objectifs sont atteints grâce à la subtilité et l élégance de l arithmétique modulaire. Cet ouvrage est issu d un enseignement en mathématiques Spéciales MP* résultant à la fois d un approfondissement en algèbre destiné aux candidats des ENS et d une adaptation des mathématiques disponibles en Spé MP* aux techniques de codage et de décodage numériques.
Introduction
L arithmétique modulaire est, avant tout, la discipline mathématique dont l objet est l étude des anneaux ou des corps - le plus souvent finis -- obtenus par "réduction" à partir d un idéal I d un anneau commutatif A; l idéal I définit alors ce qu on appelle le modulo (ou parfois le modulus) à l aune duquel sont "regardés" les éléments de l an¬neau A; l ensemble ainsi "réduit", toujours noté A/I, porte le nom d ensemble quotient (algébrique) de l anneau A par son idéal I.
En pratique, ou bien A = E et I est du type nZ, ou bien A = [X], étant un corps (le plus souvent fini) et éventuellement, mais plus rarement, A = A'[X] où A' est un anneau fini, l idéal I étant toujours du type (P), c est-à-dire l idéal de A engendré par le polynôme P. A partir d un ensemble produit de l arithmétique modulaire usuelle, anneau E/(n) ou corps fini, on peut créer des sous-ensembles algébriquement très faciles à identifier, organisés en groupes cycliques, qui, à ce titre, relèvent également du concept modulaire (courbes elliptiques, surfaces de Frobénius, groupe des inversibles de Z/(n) lorsque n = pl, p premier...).
L intérêt de l arithmétique modulaire, telle qu elle vient d être exposée dans cette introduction, réside essentiellement dans le fait qu elle dispose et crée des ensembles finis, algébriquement très riches, pourvus de modes opératoires n ayant aucun ordre prévisible et, de ce fait, susceptibles de favoriser la création de mécanismes mathématiques de secret si nécessaires en cryptologie.
C est la raison pour laquelle sont réunies dans le même ouvrage l arithmétique mo¬dulaire et la cryptologie, étant entendu que cette discipline mathématique est abordée de façon élémentaire afin qu un taupin ou candidat aux concours (CAPES, Agrégation) puisse "y trouver son compte".
Table des matières :
Introduction
Chapitre 1 Notions préliminaires
Chapitre 2 Groupes, anneaux, corps
Chapitre 3 Arithmétique modulaire dans Z
Chapitre 4 Arithmétique modulaire dans K[X] où K est un corpsfini
Chapitre 5 Résidus quadratiques - Loi de réciprocité
Chapitre 6 Les nombres premiers
Chapitre 7 Arithmétique modulaire et cryptologie
Chapitre 8 Protocoles de signature et d identification numériques
Annexe A Cryptographie et surface de Frobénius
Postface


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ÉLÉMENTS D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

ÉLÉMENTS D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Cet ouvrage rassemble, sans modification substantielle, la plupart
des Notes historiques parues jusqu'ici dans mes Eléments de Mathématique. On en a seulement rendu la lecture indépendante des chapitresdes Eléments auxquels ces Notes font suite ; elles sont donc enprincipe accessibles à tout lecteur pourvu d'une solide culture mathématique classique, du niveau du premier cycle de l'enseignement supérieur.

Bien entendu, les études séparées qui constituent ce volume ne sauraient en aucune manière prétendre à esquisser, même de façon sommaire, une histoire suivie et complète du développement de laMathématique jusqu'à nos jours. Des parties entières des mathématiques
classiques comme la Géométrie différentielle, la Géométrie algébrique, le Calcul des variations, n'y sont mentionnées que par allusions; d'autres, telles que la théorie des fonctions analytiques,
celles des équations différentielles ou aux dérivées partielles, sont à peine effleurées; à plus forte raison, ces lacunes deviennent-elles plus nombreuses et plus importantes quand on arrive à l'époque moderne. 11 va sans dire qu'il ne s'agit pas là d'omissions intentionnelles;
elles sont simplement dues au fait que les chapitres correspondants des Élénlents n'ont pas encore été publiés.

Enfin, le lecteur ne trouvera pratiquement dans ces Notes aucun renseignement biographique oii anecdotique sur les math6maticiens dont il est question ; on a cherché surtout, pour chaque théorie, à faire apparaître aussi clairement que possible quelles en ont été les idées directrices. et comment ces idées se sont développées et ont réagi les unes sur les autres.









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Les invariants : Dénicher la loi cachée  - Gilles Cohen et collectif

Les invariants : Dénicher la loi cachée  - Gilles Cohen et collectif

Gilles Cohen et collectif, Les invariants : Dénicher la loi cachée

L'une des activités principales du scientifique explorant le monde est la recherche d'invariants. Les mathématiques n'échappent pas à cette quête systématique: il est toujours conseillé de s'intéresser à « ce qui ne change pas» dans un cadre fixé.

En géométrie, la recherche de points invariants permet de mieux comprendre les transformations. Le plus simple des invariants, la parité, est exploité dans de nombreux contextes, le jeu de taquin en étant une parfaite illustration.

D'autres invariants, de nature algébrique, interviennent dans l'étude des permutations d'objets abstraits, ou concrets comme le Rubik's Cube. Ils sont à la base des codes correcteurs d'erreurs, indispensables pour sécuriser la transmission des données. Aujourd'hui plus que jamais, les invariants sont au coeur des mathématiques et de leurs applications


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Mathématiques pour le calcul formel - Maurice Mignotte

Mathématiques pour le calcul formel - Maurice Mignotte

Maurice Mignotte, "Mathématiques pour le calcul formel"
French | 1989 | ISBN: 2130422594 | 352 pages | PDF | 102 MB

Les ordinateurs réalisent maintenant la plupart des calculs algébriques ou analytiques exigés par les exercices de mathématiques des lycées. Cet ouvrage présente les outils mathématiques utilisés dans les programmes qui effectuent ces calculs. Le but principal poursuivi est la factorisation des polynômes.
La première partie de cet ouvrage traite de l'arithmétique élémentaire et contient des résultats qui sont aussi utiles en cryptographie.





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